Question

2．定义在R上的偶函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈[1，2]时，f（x）=-2^x+2，若函数y=f（x）-log_a（|x|+1）恰好有8个零点，则实数a的取值范围是$（\frac{{\sqrt{11}}}{11}，\frac{{\sqrt{7}}}{7}）∪\left\{3\right\}$．

Answer 1

分析 ①画出：x∈[1，2]时，f（x）=-2^x+2，f（x）的图象，由于函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，可得其在区间[0，1]上的图象．由于函数f（x）是偶函数，且关于点（1，0）对称，则f（-x）=f（x），f（x）+f（2-x）=0，
可得f（x+4）=f（x），因此其周期T=4．当a＞1时，画出函数y=log_a（|x|+1），由于此函数是偶函数，因此只要画出右边的图象即可得出．由于右边的图象与函数f（x）的图象只有4个交点，因此log_a（|8|+1）=2，解得a．
②当1＞a＞0时，画出函数y=log_a（|x|+1），同理满足：log_a（6+1）＞-2，log_a（10+1）＜-2，解出即可得出．

解答 解：①画出：x∈[1，2]时，f（x）=-2^x+2，f（x）的图象，
由于函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，可得其在区间[0，1]上的图象．
由于函数f（x）是偶函数，且关于点（1，0）对称，则f（-x）=f（x），f（x）+f（2-x）=0，
可得f（x+4）=f（x），因此其周期T=4．
当a＞1时，画出函数y=log_a（|x|+1），由于此函数是偶函数，因此只要画出右边的图象即可得出．
由于右边的图象与函数f（x）的图象只有4个交点，因此log_a（|8|+1）=2，解得a=3．
②当1＞a＞0时，画出函数y=log_a（|x|+1），由于此函数是偶函数，因此只要画出右边的图象即可得出．
由于右边的图象与函数f（x）的图象只有4个交点，因此满足：log_a（6+1）＞-2，log_a（10+1）＜-2，
解得：$\frac{\sqrt{11}}{11}$＜a＜$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
故所求的实数a的取值范围是$（\frac{{\sqrt{11}}}{11}，\frac{{\sqrt{7}}}{7}）∪\left\{3\right\}$．
故答案为：$（\frac{{\sqrt{11}}}{11}，\frac{{\sqrt{7}}}{7}）∪\left\{3\right\}$．

点评 本题考查了函数的图象与性质、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．