Question

17．P为双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{{{a^2}-4}}=1（a＞2）$上位于第一象限内一点，且$OP=2\sqrt{2}$，令∠POx=θ，则θ的取值范围是（0，$\frac{π}{12}$]．

Answer 1

分析 利用参数法求出点P的坐标，结合基本不等式进行求解即可．

解答 解：设∠POx=θ，则θ为锐角且P（2$\sqrt{2}$cosθ，2$\sqrt{2}$sinθ），
所以$\frac{8co{s}^{2}θ}{{a}^{2}}$-$\frac{8si{n}^{2}θ}{{a}^{2}-4}$=1，
即有$\frac{4（1+cos2θ）}{{a}^{2}}$-$\frac{4（1-cos2θ）}{{a}^{2}-4}$=1，
化简得，cos2θ=$\frac{1}{8}$[（a²-2）+$\frac{12}{{a}^{2}-2}$]≥$\frac{1}{8}$•2$\sqrt{（{a}^{2}-2）•\frac{12}{{a}^{2}-2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当且仅当a²-2=$\frac{12}{{a}^{2}-2}$，
即a²=2（$\sqrt{3}$+1）时取等号，
所以2θ≤$\frac{π}{6}$，
即有0＜θ≤$\frac{π}{12}$．
故答案为：（0，$\frac{π}{12}$]．

点评 本题主要考查双曲线性质的应用，利用参数法结合基本不等式求最值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．