Question

7．在直角坐标系xOy中，点A在曲线$C：y={（{\frac{3}{2}}）^x}$上运动，在x轴正半轴取点B，作正三角形OAB，这样的正三角形有（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 设（a，${（\frac{3}{2}）}^{a}$）是曲线$C：y={（\frac{3}{2}）}^{x}$上一点，则直线OC的斜率k=$\frac{（\frac{3}{2}）^{a}}{a}$，利用导数法求出k的最值，可得答案．

解答 解：设（a，${（\frac{3}{2}）}^{a}$）是曲线$C：y={（\frac{3}{2}）}^{x}$上一点，
则直线OC的斜率k=$\frac{（\frac{3}{2}）^{a}}{a}$，
则k′=$\frac{{（ln\frac{3}{2}•a-1）•（\frac{3}{2}）}^{a}}{{a}^{2}}$，
令k′=0，则a=${log}_{\frac{3}{2}}e$，
当a＜${log}_{\frac{3}{2}}e$时，k′＜0，当a＞${log}_{\frac{3}{2}}e$时，k′＞0，
故a=${log}_{\frac{3}{2}}e$时，k=$\frac{（\frac{3}{2}）^{a}}{a}$取最小值值e•ln$\frac{3}{2}$，
由e•ln$\frac{3}{2}$$≥\sqrt{3}$可得：
∠BOA＞$\frac{π}{3}$恒成立，
故不存在这样的正三角形，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是直线的斜率，利用导数研究函数的最值，难度中档．