Question

3．已知函数f（x）满足：2f（x）•f（y）=f（x+y）+f（x-y），f（1）=$\frac{1}{2}$，且f（x）在[0，3]上单调递减，则方程f（x）=$\frac{1}{2}$在区间[-2014，2014]内根的个数为1343．

Answer 1

分析 可令y=1，f（x）=f（x+1）+f（x-1），两次将x换为x+1，可得f（x）的周期为3，由题意可得方程的根的个数．

解答 解：2f（x）•f（y）=f（x+y）+f（x-y），f（1）=$\frac{1}{2}$，
令y=1，可得2f（x）f（1）=f（x+1）+f（x-1），
即为f（x）=f（x+1）+f（x-1），
将x换为x+1，可得f（x+1）=f（x+2）+f（x），
即有f（x+2）=f（x-1），
将x换为x+1，可得f（x+3）=f（x），
则函数f（x）以3为最小正周期的函数，
由f（1）=$\frac{1}{2}$，且f（x）在[0，3]上单调递减，
可得方程f（x）=$\frac{1}{2}$在[0，2014]之间有672个根，
在[-2014，0]之间有671个根，
则方程f（x）=$\frac{1}{2}$在区间[-2014，2014]内根的个数为672+671=1343个根．
故答案为：1343．

点评 本题考查抽象函数的性质和运用，主要是周期性的应用，考查运算能力，属于中档题．