Question

20．若圆C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的半径为r，圆心C到直线l的距离为d，其中D²+E²=F²，且F＞0．
（1）求F的取值范围；
（2）求d²-r²的值；
（3）是否存在定圆M既与直线l相切又与圆C相离？若存在，请写出定圆M的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据方程x²+y²+Dx+Ey+F=0表示圆的条件，结合题意求出F的取值范围；
（2）根据题意求出r和d，计算d²-r²的值即可；
（3）存在定圆M：x²+y²=1满足题意，证明圆M与直线l相切，并且圆M与圆C相离即可．

解答 解：（1）方程x²+y²+Dx+Ey+F=0表示圆，
则D²+E²＞4F，
又D²+E²=F²，且F＞0，
所以中F²＞4F，且F＞0，
解得F＞4； …（3分）
（2）圆C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的圆心为C（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），
半径r=$\frac{\sqrt{{D}^{2}{+E}^{2}-4F}}{2}$=$\frac{\sqrt{{F}^{2}-4F}}{2}$，
圆心C到直线l的距离为
d=$\frac{|D×（-\frac{D}{2}）+E×（-\frac{E}{2}）+F|}{\sqrt{{D}^{2}{+E}^{2}}}$=|$\frac{F-2}{2}$|，
所以d²-r²=${|\frac{F-2}{2}|}^{2}$-${（\frac{\sqrt{{F}^{2}-4F}}{2}）}^{2}$=1；  …（8分）
（3）存在定圆M：x²+y²=1满足题意，下证之：…（10分）
1°因为M（0，0）到直线l的距离为$\frac{|F|}{\sqrt{{D}^{2}{+E}^{2}}}$=1=R，
所以圆M与直线l相切；
2°因为CM=$\sqrt{{（0+\frac{D}{2}）}^{2}{+（0+\frac{E}{2}）}^{2}}$=$\frac{F}{2}$，且R+1=$\frac{\sqrt{{F}^{2}-4F}}{2}$+1，
而$\frac{F}{2}$＞$\frac{\sqrt{{F}^{2}-4F}}{2}$+1，
即${（\frac{F}{2}-1）}^{2}$＞$\frac{{F}^{2}-4F}{4}$，
即4＞0，
故CM＞R+1，
所以圆M与圆C相离；
由1°、2°得，存在定圆M：x²+y²=1满足题意． …（16分）

点评 本题考查了直线与圆的方程与应用问题，也考查了点到直线的距离问题的应用，是综合性问题．