Question

8．函数f（x）=a|log₂x|+1（a≠0），定义函数F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{f（-x），x＜0}\end{array}\right.$，给出下列命题：
①F（x）=|f（x）；   
②函数F（x）是偶函数；
③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）-F（n）＜0成立；
④当a＞0时，函数y=F（x）-2有4个零点．
其中正确命题的序号为②③④．

Answer 1

分析 （1）|f（x）|=|a|log₂x|+1|，∴F（x）≠|f（x）|；①不对：（2）F（-x）=F（x），函数F（x）是偶函数；故②正确
（3）|log₂m|＞|log₂n|，a|log₂m|+1＞a|log₂n|+1，即F（m）＜F（n）成立；故F（m）-F（n）＜0成立；所以③正确
（4）x＞0时，F（x）的最小值为F（1）=1，运用图象判断即可．

解答 解：解：（1）∵函数f（x）=a|log₂x|+1（a≠0），定义函数F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{f（-x），x＜0}\end{array}\right.$，
对于①，∴|f（x）|=|a|log₂x|+1|，∴F（x）≠|f（x）|；故①不错；
对于②，F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{f（-x），x＜0}\end{array}\right.$═F（x）∴函数F（x）是偶函数；故②正确，
对于③，∵当a＜0时，若0＜m＜n＜1，∴|log₂m|＞|log₂n|
∴a|log₂m|+1＞a|log₂n|+1，即F（m）＜F（n）成立；故F（m）-F（n）＜0成立；所以③正确；
对于④，∴x＞0时，F（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，∴x＞0时，F（x）的最小值为F（1）=1，
故x＞0时，F（x）与y=-2有2个交点，∵函数F（x）是偶函数，∴x＜0时，F（x）与y=-2有2个交点
故当a＞0时，函数y=F（x）-2有4个零点．所以④正确，
故答案为：②③④

点评 本题综合考察了函数的性质，运用图象解决问题，对于函数式子与性质的结合，关键是理解，属于难题．