Question

19．已知命题P：函数y=lg（ax²+2x+1）的定义域为R；命题Q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题；求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题；则命题是P，Q一真一假，进而可得答案．

解答 解：当P为真时：ax²+2x+1＞0恒成立，
即△=4-4a＜0且a＞0，
解得：a＞1，
当Q为真时：
a-2=0，或$\left\{\begin{array}{l}a-2＜0\\△=4（{a-2）}^{2}+16（a-2）＜0\end{array}\right.$，
解得：-2＜a≤2，
∵P∨Q是真命题，P∧Q是假命题；
故命题是P，Q一真一假，
若P真Q假，则a＞2，
若P假Q真，则-2＜a≤1，
综上可得：实数a的取值范围为（-2，1]∪（2，+∞）．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数恒成立问题，复合命题，难度中档．