Question

3．已知函数f（x）=x²+$\frac{a}{x}$（x≠0，a∈R）
（1）当a=0时，判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知得函数f（x）=x²（x≠0，a∈R），根据函数奇偶性的定义，可判断出f（x）=x²为偶函数；
（2）根据f（x）在区间[2，+∞）是增函数，结合函数单调性的定义，可得当x₂＞x₁≥2，f（x₁）-f（x₂）＜0，由此构造关于a的不等式，解不等式可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=x²，显然f（-x）=f（x），定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
故f（x）是偶函数；
（2）设x₂＞x₁≥2，f（x₁）-f（x₂）=${{x}_{1}}^{2}$+$\frac{a}{{x}_{1}}$-${{x}_{2}}^{2}$-$\frac{a}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}-x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$[x₁x₂（x₁+x₂）-a]，
由x₂＞x₁≥2得x₁x₂（x₁+x₂）＞16，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
要使f（x）在区间[2，+∞）是增函数只需f（x₁）-f（x₂）＜0，
即x₁x₂（x₁+x₂）-a＞0恒成立，则a≤16．
另解（导数法）：f′（x）=2x-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
要使f（x）在区间[2，+∞）是增函数，
只需当x≥2时，f'（x）≥0恒成立，即2x-$\frac{a}{{x}^{2}}$≥0，
则a≤2x³∈[16，+∞）恒成立，
故当a≤16时，f（x）在区间[2，+∞）是增函数．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的性质，熟练掌握函数奇偶性和单调性的定义，将已知转化为关于参数a的方程（不等式）是解答本题的关键．