Question

如图，焦点在x轴的椭圆C：

x2

8

+

y2

b2

=1（b＞0），点G（2，0），点P在椭圆上，且PG⊥x轴，连接OP交直线x=4于点M，连接MG交椭圆于A、B．
（Ⅰ）若G为椭圆右焦点，求|OM|；
（Ⅱ）记直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，求k₁+k₂的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）不妨设P在x轴上方，椭圆C的方程为：

x2

8

+

y2

b2

=1（b＞0），可得点P的坐标为(2，

2 b

2

)，根据题意可得P为线段OM的中点，可得M的坐标为(4，

2

b)．G为椭圆右焦点，可得b²=8-4，即可得出|OM|=

16+2b2

．
（Ⅱ）由于直线AB过点M、G，可得k_AB=

2 b

2

，可得直线AB的方程为y=

2 b

2

(x-2)，代入椭圆方程并整理得：5x²-16x+8=0．利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．

解答： 解：（I）不妨设P在x轴上方，
由椭圆C的方程为：

x2

8

+

y2

b2

=1（b＞0），令x=2，则y=

2

2

b，
∴点P的坐标为(2，

2 b

2

)，
根据题意可得P为线段OM的中点，∴M的坐标为(4，

2

b)．
若G为椭圆右焦点，则b²=8-4=4，
∴|OM|=

16+2b2

=2

6

．
（Ⅱ）∵直线AB过点M、G，
∴k_AB=

2 b

2

，
则直线AB的方程为y=

2 b

2

(x-2)，
代入椭圆方程并整理得：5x²-16x+8=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=

16

5

，x₁x₂=

8

5

．
∴k₁+k₂=

y1- 2 2 b

x1-2

+

y2- 2 2 b

x2-2

=

y1

x1-2

+

y2

x2-2

-

2

2

b(

1

x1-2

+

1

x2-2

)．
∵y1=

2 b

2

(x1-2)，y2=

2 b

2

(x2-2)．
∴k₁+k₂=

2

b-

2

2

b•

x1+x2-4

x1x2-2(x1+x2)+4

=

2

2

b．
∵0＜b²＜8，b＞0，
∴0＜b＜2

2

，
∴k₁+k₂的取值范围是（0，2）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．