Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由题意可得：

a=2b 4 a2 + 1 b2 =1

，解得即可．
（2）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）直线l：y=

1

2

x+m，与椭圆方程联立可得x²+2mx+2m²-4=0，
利用斜率计算公式与跟与系数的关系可得：k1+k2=

y1-1

x1-1

+

y2-1

x2-1

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

，计算其分子=0即可．

解答： （1）解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由题意可得：

a=2b 4 a2 + 1 b2 =1

，解得a²=8，b²=2．
∴椭圆方程为 

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）证明：设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）直线l：y=

1

2

x+m，
则k1=

y1-1

x1-1

，k2=

y2-1

x2-1

．
联立方程

y= 1 2 x+m x2+4y2=8

，得x²+2mx+2m²-4=0，
∴x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4．
而k1+k2=

y1-1

x1-1

+

y2-1

x2-1

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

，
其分子=(

1

2

x1+m-1)(x2-2)+(

1

2

x2+m-1)(x1-2)
=x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1）=2m²-4-2m（m-2）-4m+4=0，
∴k₁+k₂=0．
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得该协议书的关系、斜率计算公式、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．