Question

设{a_n}是递增等差数列，其前n项和为S_n，已知a₁=1，且S₂，a₄+1，S₄成等比数列，数列{b_n}满足a_n=2log₃b_n-1（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）令C_n=

an

bn

（n∈N₊），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差d＞0，由于S₂，a₄+1，S₄成等比数列，可得(a4+1)2=S₂S₄，利用等差数列的通项公式与前n项和公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差d＞0，
∵S₂，a₄+1，S₄成等比数列，
∴(a4+1)2=S₂S₄，
∴(a1+3d+1)2=(2a1+d)(4a1+

4×3

2

d)，
即（2+3d）²=（2+d）（4+6d），
解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵a_n=2log₃b_n-1（n∈N₊）．
∴2n-1=2log₃b_n-1．
∴b_n=3ⁿ．
（2）cn=

an

bn

=

2n-1

3n

．
∴T_n=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

，

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+

5

34

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

，
∴

2

3

Tn=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

2 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

1

3

-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

2n+2

3n+1

，
∴T_n=1-

n+1

3n

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式、对数的运算性质、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．