Question

对数列{a_n}，{b_n}，若区间[a_n，b_n]满足下列条件：
①[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]（n∈N^*）；
②

lim

n→∞

(bn-an)=0，
则称{[a_n，b_n]}为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（　　）

• A、an=(

  1

  2

  )n，bn=(

  2

  3

  )n
• B、an=(

  1

  3

  )n，bn=

  n

  n2+1

• C、an=

  n-1

  n

  ，bn=1+(

  1

  3

  )n
• D、an=

  n+3

  n+2

  ，bn=

  n+2

  n+1

Answer 1

考点：数列的极限

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可．

解答： 解：由题意，对于A，an=(

1

2

)n，bn=(

2

3

)n，∵an+1=(

1

2

)n+1＜an=(

1

2

)n，∴[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]（n∈N^*）不成立，所以A不正确；
对于B，an=(

1

3

)n，bn=

n

n2+1

，∵an+1=(

1

3

)n+1＜an=(

1

3

)n，∴[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]（n∈N^*）不成立，所以B不正确；
对于C，an=

n-1

n

，bn=1+(

1

3

)n，∵an+1=

n

n+1

＞an=

n-1

n

，bn=1+(

1

3

)n＞bn+1=1+(

1

3

)n+1，∴[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]（n∈N^*）成立，并且

lim

n→∞

(bn-an)=0，所以C正确；
对于D，an=

n+3

n+2

，bn=

n+2

n+1

，
∵an+1=

n+4

n+3

＞an=

n+3

n+2

，bn+1=

n+3

n+2

＜bn=

n+2

n+1

，
∴[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]（n∈N^*）不成立，所以D不正确；
故选：C．

点评：本题考查数列的极限，数列的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．