Question

在数列{a_n}中，已知a₂=1，前n项和为S_n，且Sn=

n(an-a1)

2

．（其中n∈N*）
（1）求a₁；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设lgbn=

an+1

3n

，问是否存在正整数p、q（其中1＜p＜q），使得b₁，b_p，b_q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）直接利用n=1求出数列的首项．
（2）利用递推关系式和叠乘法求数列的通项公式．
（3）存在性问题的判断，先假设存在，然后利用函数的单调性判断存在有序实数对．

解答： 解：（1）因为Sn=

n(an-a1)

2

，
令n=1，得a1=

(a1-a1)

2

=0，
所以a₁=0；
或者令n=2，得a1+a2=

2(a2-a1)

2

，
所以：a₁=0
（2）当n≥2时，Sn+1=

(n+1)(an+1-a1)

2

=

(n+1)an+1

2

，an+1=Sn+1-Sn=

(n+1)an+1

2

-

nan

2

，

an+1

an

=

n

n-1

，
推得

an+1

a3

=

n

3-1

，
利用叠乘法求出数列a_n=n-1
又a₂=1，a₃=2a₂=3，
所以a_n+1=n，
当n=1，2时也成立，
所以a_n=n-1，（n∈N*）
（3）假设存在正整数p，q使得b₁，b_p，b_q成等比数列，
则：lgb₁，lgb_p，lgb_q成等差数列．
则：

2p

3p

=

q

3q

+

1

3

①
由于等式右边大于

1

3

，
故

2p

3p

＞

1

3

则：

p

3p

＞

1

6

下面考察数列{

p

3p

}d的单调性．
因为：

p+1

3p+1

-

p

3p

=

1-2p

3p+1

＜0
故数列{

p

3p

}是单调递减数列．
当p=2时，

p

3p

=

2

9

＞

1

6

代入①式得：：

q

3q

=

1

9

解得：q=3
当p≥3时，

p

3p

≤

1

9

(舍去)
故存在（p，q）为（2，3）使得b₁，b_p，b_q成等比数列．

点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式和叠乘法求数列的通项公式，利用函数的单调性判断存在性问题．属于中等题型．