Question

椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，点P在椭圆C上，记直线PA₂的斜率为k₂，直线PA₁的斜率为k₁，则 k₁•k₂=

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1的左、右顶点分别为A₁，A₂，设P（x₀，y₀），再求出直线PA₂的斜率k₂，直线PA₁的斜率k₁，由此求出k₁k₂的式子，由此利用等价转化思想能求出k₁•k₂的值．

解答： 解：椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1的左、右顶点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0），
设P（x₀，y₀），
则k₁k₂=

y0

x0+2

•

y0

x0-2

=

y02

x02-4

，
∵P（x₀，y₀）在椭圆上，
∴

x02

4

+

y02

3

=1，
∴y02=

3

4

(4-x02)，
∴k₁k₂=

y02

x02-4

=

3 4 (4-x02 )

x02-4

=-

3

4

故答案为：-

3

4

．

点评：本题考查两条直线的斜率乘积的求法，是中档题，解题时要注意椭圆性质的灵活运用．