Question

已知P是双曲线

x2

4

-y2=1的右支（在第一象限内）上的任意一点，A₁，A₂分别是其左右顶点，O是坐标原点，直线PA₁，PO，PA₂的斜率分别为k₁，k₂，k₃，则斜率k₁k₂k₃的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设点P（x，y），（x＞0，y＞0），利用斜率公式化简，即可得出结论．

解答： 解：设点P（x，y），（x＞0，y＞0），则
∵双曲线

x2

4

-y2=1中，A₁（-2，0），A₂（2，0），直线PA₁，PO，PA₂的斜率分别为k₁，k₂，k₃，
∴k₁k₂k₃=

y

x+2

•

y

x

•

y

x-2

=

y2

x2-4

•

y

x

=

1

4

•

y

x

∵P是双曲线

x2

4

-y2=1的右支（在第一象限内）上的任意一点，
∴0＜

y

x

＜

1

2

，
∴0＜

1

4

•

y

x

＜

1

8

．
故答案为：（0，

1

8

）．

点评：本题考查双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的方程及其性质、斜率计算公式是解题的关键．