Question

数列{a_n}定义如下：a₁=1，a₂=2，a_n+2=

2(n+1)

n+2

a_n+1-

n

n+2

a_n，n=1，2，…．若a_m＞2+

2011

2012

，则正整数m的最小值为

 

．

Answer 1

考点：数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：由a_n+2=

2(n+1)

n+2

a_n+1-

n

n+2

a_n，变形为（n+2）a_n+2-（n+1）a_n=（n+1）a_n+1-na_n．可知数列{na_n}是等差数列，利用等差数列的通项公式可得na_n，进而得到a_n．即可解出．

解答： 解：由a_n+2=

2(n+1)

n+2

a_n+1-

n

n+2

a_n，变形为（n+2）a_n+2-（n+1）a_n=（n+1）a_n+1-na_n．
可知数列{na_n}是等差数列，公差d=2a₂-a₁=2×2-1=3，首项a₁=1．
∴na_n=1+（n-1）×3=3n-2，∴an=3-

2

n

．
若a_m＞2+

2011

2012

，则3-

2

m

＞2+

2011

2012

，解得m＞4024．
∴若a_m＞2+

2011

2012

，则正整数m的最小值为4025．
故答案为：4025．

点评：本题考查了等差数列的定义及其通项公式、不等式的性质，属于基础题．