Question

10．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{π}{3}$		$\frac{5π}{6}$
Asin（ωx+φ）	0	5		-5	0

（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动$\frac{π}{6}$个单位长度，得到y=g（x）图象，求出y=g（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}}$]上的最小值和取得最小值时x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用五点法作图，将表格数据补充完整，并求得函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得y=g（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}}$]上的最小值和取得最小值时x的值．

解答 解  （Ⅰ）根据表中已知数据可得：A=5，$\frac{π}{3}ω+φ=\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}ω+φ=\frac{3π}{2}$，解得$ω=2，φ=-\frac{π}{6}$．数据补全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$g（x）=5sin[2（x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}]=5sin（2x+\frac{π}{6}）$	y=sinx	（kπ，0）	$2x+\frac{π}{6}=kπ$	k∈Z
$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$	0	5	0	k∈Z	0

且函数表达式为f（x）=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=5sin（2x-\frac{π}{6}）$，因此 $g（x）=5sin[2（x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}]=5sin（2x+\frac{π}{6}）$，
在区间[0，$\frac{2π}{3}}$]上，$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}}\right.，\left.{\frac{3π}{2}}]$，当$2x+\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$，即$x=\frac{2π}{3}$时，函数的最小值为-5．

点评 本题主要考查里用五点法作函数f（x）=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．