Question

5．在△ABC中，若4（sin²A+sin²B-sin²C）=3sinA•sinB，则sin²$\frac{A+B}{2}$的值为（　　）

• A． $\frac{7}{8}$
• B． $\frac{3}{8}$
• C． $\frac{15}{16}$
• D． $\frac{11}{16}$

Answer 1

分析 先根据正弦定理找到角与边的关系，即用角的正弦表示出边，然后再用余弦定理可求出角C的余弦值，从而利用二倍角公式化简所求得到答案．

解答 解：在△ABC中，根据正弦定理设ka=sinA，kb=sinB，kc=sinC，
∵4（sin²A+sin²B-sin²C）=3sinA•sinB．
∴4（k²a²+k²b²-k²c²）=3ka•kb，即：a²+b²-c²=$\frac{3}{4}$a•b，
∴由余弦定理cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\frac{3}{4}ab}{2ab}$=$\frac{3}{8}$．
∴sin²$\frac{A+B}{2}$=$\frac{1-cos（A+B）}{2}$=$\frac{1+cosC}{2}$=$\frac{1+\frac{3}{8}}{2}$=$\frac{11}{16}$．
故选：D．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理，二倍角公式在解三角形中的应用．正弦定理与余弦定理在解三角形时有很大的用途，要给予重视，属于基础题．