题目内容
已知数列{xn}满足x1=0，xn+1=-xn2+xn+c（n∈N*）．求证：0＜c＜1是数列{xn}是单调递增数列的必要不充分条件．
考点：数列递推式
专题：证明题,转化思想
分析：由已知条件求出x2=c，x3=-c2+2c，由x3＞x2求出数列是递增数列的c的初步范围，然后再由数列是递增数列得到xn+1-xn=c-xn2＞0，分0＜c≤
和c＞
讨论数列是否一定为递增数列．
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解答：
证明：由x1=0，xn+1=-xn2+xn+c，得
x2=c，x3=-c2+2c，
由数列{xn}是单调递增数列，得
x3-x2=-c2+2c-c＞0，解得0＜c＜1．
再由xn+1=-xn2+xn+c，得
xn+1-xn=c-xn2，
由数列{xn}是单调递增数列，得
xn+1-xn=c-xn2＞0，
即xn2＜c＜1，
0=x1≤xn＜
，
xn+2-xn+1=(xn+12-xn2)+(xn+1-xn)=-（xn+1-xn）（xn+1+xn-1），
当0＜c≤
时，xn＜
≤
，
⇒xn-xn+1+1＞0?xn+2-xn+1-1＜0，?xn+2-xn+1与xn+1-xn同号，
由x2-x1=c＞0⇒xn+1-xn＞0?xn+1＞xn，数列是递增数列．
当c＞
时，存在N使xN＞
⇒xN+xN+1＞1⇒xN+2-xN+1与xN+1-xN异号，
与数列{xn}是递增数列矛盾．
∴当0＜c≤
时，数列{xn}是递增数列．
故0＜c＜1是数列{xn}是单调递增数列的必要不充分条件．
x2=c，x3=-c2+2c，
由数列{xn}是单调递增数列，得
x3-x2=-c2+2c-c＞0，解得0＜c＜1．
再由xn+1=-xn2+xn+c，得
xn+1-xn=c-xn2，
由数列{xn}是单调递增数列，得
xn+1-xn=c-xn2＞0，
即xn2＜c＜1，
0=x1≤xn＜
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xn+2-xn+1=(xn+12-xn2)+(xn+1-xn)=-（xn+1-xn）（xn+1+xn-1），
当0＜c≤
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⇒xn-xn+1+1＞0?xn+2-xn+1-1＜0，?xn+2-xn+1与xn+1-xn同号，
由x2-x1=c＞0⇒xn+1-xn＞0?xn+1＞xn，数列是递增数列．
当c＞
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与数列{xn}是递增数列矛盾．
∴当0＜c≤
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故0＜c＜1是数列{xn}是单调递增数列的必要不充分条件．
点评：本题考查数列与函数的综合应用，函数的单调性的证明，充要条件的证明，考查逻辑推理能力，计算能力，是压轴题．
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