Question

一直函数f（x）=log_a

1-x

1+x

（a＞0，a≠1）．
（1）学生甲求出f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）；学生乙求出f（x）的定义域为（-1，1）；学生丙求出f（x）的定义域为（-∞，-1），（1，+∞）．你认为谁正确？
（2）请判断函数f（x）的奇偶性；
（3）请判断函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）=log_a

1-x

1+x

，可得

1-x

1+x

＞0，由此求得函数的定由于，可得学生乙正确．
（2）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），可得函数为奇函数．
（3）由于t=

1-x

1+x

=-1+

2

x+1

 在定义域上是减函数，f（x）=log_at，分当a＞1时和当0＜a＜1时两种情况，分别根据复合函数的单调性规律求得函数f（x）的单调性．

解答： 解：（1）由函数f（x）=log_a

1-x

1+x

，可得

1-x

1+x

＞0，即

x-1

x+1

＜0，解得-1＜x＜1，故学生乙正确．
（2）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=log

1+x

1-x

=-log

1-x

1+x

=-f（x），
故函数为奇函数．
（3）由于t=

1-x

1+x

=-

x-1

x+1

=-

x+1-2

x+1

=-1+

2

x+1

 在定义域（-1，1）上是减函数，f（x）=log_at，
故当a＞1时，函数f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，
当0＜a＜1时，函数f（x）在定义域（-1，1）上是增函数．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，函数的单调性和奇偶性的判断，属于基础题．