Question

命题甲：关于x的不等式x²+（2a+1）x+a²＞0的解集为R；
命题乙：不等式a+1≤log₂x对任意x∈[1，2]恒成立，分别求出符合下列条件的示数a的取值范围．
（1）甲、乙都是真命题；
（2）甲、乙有且只有一个是真命题．

Answer 1

考点：复合命题的真假,指、对数不等式的解法

专题：简易逻辑

分析：（1）首先，当甲为真命题时，满足△＜0，得到a＜-

1

4

，当乙为真命题时，得到a≤-1，然后，求解即可；对于（2）则分为甲为真乙为假或甲为假乙为真，两种情形进行讨论完成．

解答： 解：若甲为真命题，则△＜0，
即（2a+1）²-4a²＜0，
解得a＜-

1

4

，
若乙为真命题，则
a+1≤（log₂x）_min=log₂1=0，
∴a≤-1，
（1）∵甲、乙都是真命题，
∴

a＜- 1 4 a≤-1

，
∴a≤-1，
∴实数a的取值范围为（-∞，-1]．
（2）∵甲、乙有且只有一个是真命题，
∴甲为真乙为假或甲为假乙为真，
则

a＜- 1 4 a＞-1

 或

a≥- 1 4 a≤-1

，
∴-1＜a＜-

1

4

，
∴实数a的取值范围为（-1，-

1

4

）．

点评：本题重点考查了一元二次不等式的解法、不等式恒成立问题、命题的真假等知识点，属于中档题．