Question

已知函数f（x）=2e^x-ax-2（a∈R）
（1）讨论函数的单调性；
（2）若f（x）≥0恒成立，证明：x₁＜x₂时，

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞2（e x1-1）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论即可得出其单调性；
（2）通过对a分类讨论，得到当a=2，满足条件且e^x-1≥x，当且仅当x=0时，取“=”．利用此结论即可证明．

解答： 解：（1）f′（x）=2e^x-a．
若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
若a＞0，则当x∈（-∞，ln

a

2

）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（ln

a

2

，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
（2）证明：由（Ⅰ）知若a≤0，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，又f（0）=0，故f（x）≥0不恒成立．
若a＞0，则由f（x）≥0=f（0）知0应为极小值点，即ln

a

2

=0，
所以a=2，且e^x-1≥x，当且仅当x=0时，取“=”．
当x₁＜x₂时，f（x₂）-f（x₁）=2（e^x2-e^x1）-2（x₂-x₁）
=2e^x1（e^x2-x1-1）-2 （x₂-x₁）
≥2e^x1（x₂-x₁）-2（x₂-x₁）
=2（e^x1-1）（x₂-x₁），
所以

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞2（e^x1-1）．

点评：本题考查导数研究函数的单调性、函数恒成立问题及不等式的证明，考查转化思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，对能力要求较高，属于中档题．