Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足条件f（-x+5）=f（x-3），f（2）=0，且方程f（x）=x有等根
（1）求a，b，c；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使得函数f（x）在定义域为[m，n]值域为[3m，3n]．如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）由题意得

- b 2a =1 4a+2b+c=0 (b-1)2-4ac=0

，由此求得a，b，c的值．
（2）由以上可得，f（x）=-

1

2

x²+x的对称轴为x=1，函数的最大值为

1

2

，故3n≤

1

2

，可得n≤

1

6

．由f（m）=3m、f（n）=3n，求得m、n的值．

解答： 解：（1）由题意得

- b 2a =1 4a+2b+c=0 (b-1)2-4ac=0

，解得

a=- 1 2 b=1 c=0

．
（2）由以上可得，f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

，它的对称轴为x=1，函数的最大值为

1

2

．
由于函数f（x）在定义域为[m，n]值域为[3m，3n]，∴3n≤

1

2

，∴n≤

1

6

．
∴函数f（x）在定义域为[m，n]上是增函数，∴f（m）=3m，f（n）=3n，即

- 1 2 •m2+m=3m - 1 2 •n2+n=3n m＜n

，
求得 m=-4，n=0．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了转化的数学思想，属基础题．