Question

在平面直角坐标系下，已知A（2，0），B（0，2），C（cos2x，sin2x），（0＜x＜

π

2

），f（x）=

AB

•

AC

（1）求f（x）的最小正周期；      
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示，及两角差的正弦公式，化简三角函数式，再由周期公式，即可得到；
（2）由正弦函数的单调增区间，令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解出x即可．

解答： 解：（1）f（x）=

AB

•

AC

=（-2，2）•（cos2x-2，sin2x）
=-2cos2x+4+2sin2x=4+2

2

sin（2x-

π

4

），
则f（x）的最小正周期为：

2π

2

=π；
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
则kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，
故f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标运算，三角函数的化简，以及函数的周期和单调性的运用，属于基础题．