Question

直线L：y=kx+1与椭圆C：ax²+y²=2（a＞1）交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）．
（1）若k=1，且四边形OAPB为矩形，求a的值；
（2）若a=2，当k变化时（k∈R），求点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）联立

y=x+1 ax2+y2=2

，得：（1+a）x²+2x-1=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出a=4．
（2）联立

y=kx+1 2x2+y2=2

，得：（2+k²）x²+2kx-1=0，由此利用韦达定理和平面向量的运算法则能求出P点的轨迹方程．

解答： 解：（1）联立

y=x+1 ax2+y2=2

，得：（1+a）x²+2x-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2=- 2 1+a x1x2=- 1 1+a

，
∴y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=

a-2

a+1

，
∵四边形OAPB为矩形，∴OA⊥0B，
∴x₁x₂+y₁y₂=（-

2

1+a

）+

a-2

a+1

=0，
解得a=4．（6分）
（2）联立

y=kx+1 2x2+y2=2

，
得：（2+k²）x²+2kx-1=0，
∵以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，
设P（x，y），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-

2k

2+k2

，y₁+y₂=（kx₁+1）+（kx₂+1）=k（x₁+x₂）+2=

4

k2+2

，
∴

x=x1+x2= -2k 2+k2 y=y1+y2= 4 k2+2

，∴k=-

2x

y

，
∴P点的轨迹方程为2x+ky=0．（12分）

点评：本题考查实数值的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．