Question

关于函数f（x）=sinxcosx-cos²x，给出下列命题：
①f（x）的最小正周期为2π；
②f（x）在区间(0，

π

8

)上为增函数；
③直线x=

3π

8

是函数f（x）图象的一条对称轴；
④函数f（x）的图象可由函数f(x)=

2

2

sin2x的图象向右平移

π

8

个单位得到；
⑤对任意x∈R，恒有f(

π

4

+x)+f(-x)=-1．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：利用降幂把三角函数解析式化为y=Asin（ωx+φ）+k的形式，然后直接由周期公式求周期判断①；
求出三角函数的增区间判断②；把x=

3π

8

代入函数f（x）的解析式求解函数值判断③；利用函数图象的平移求得函数解析式判断④；直接代入验证判断⑤．

解答： 解：函数f（x）=sinxcosx-cos²x
=

1

2

sin2x-

1+cos2x

2

=

1

2

(sin2x-cos2x)-

1

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

)-

1

2

．
∴T=π．
∴命题①错误；
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z．
解得：-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ，k∈Z．
取k=0，得-

π

8

≤x≤

3π

8

．
∴f（x）在区间(0，

π

8

)上为增函数．
∴命题②正确；
取x=

3π

8

，得f（x）=

2

2

sin(2×

3π

8

-

π

4

)-

1

2

=

2 -1

2

为函数的最大值，
∴直线x=

3π

8

是函数f（x）图象的一条对称轴．
∴命题③正确；
函数f(x)=

2

2

sin2x的图象向右平移

π

8

个单位，得到f(x)=

2

2

sin2(x-

π

8

)=

2

2

sin(2x-

π

4

)．
∴命题④错误；
对任意x∈R，f(

π

4

+x)+f(-x)=

2

2

sin[2×(

π

4

+x)-

π

4

]-

1

2

+

2

2

sin(-2x-

π

4

)-

1

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

2

2

sin(-2x-

π

4

)-1=-1．
∴命题⑤正确．
∴正确命题的序号是②③⑤．
故答案为：②③⑤．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查三角恒等变换、三角函数的性质，是中档题．