Question

已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f（x）=a^xg（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，则关于x的方程abx²+

2

x+

5

2

=0（b∈（0，1））有两个不同实根的概率为

 

．

Answer 1

考点：几何概型,导数的运算

专题：概率与统计

分析：根据函数的单调性和导数之间的关系求出a的值，然后利用几何概型的概率公式即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=a^xg（x），
∴

f(x)

g(x)

=ax，
∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
∴[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＜0，
即函数

f(x)

g(x)

=ax，单调递减，即0＜a＜1．
又

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，
则a+

1

a

=

5

2

，解得a=

1

2

．
∵关于x的方程abx²+

2

x+

5

2

=0（b∈（0，1））有两个不同实根，
∴△=2-10ab＞0，即0＜b＜

2

5

，
∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率P=

2 5 -0

1-0

=

2

5

，
故答案为：

2

5

点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用导数研究函数的单调性，求出a的值是解决本题的关键．