Question

如图在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=

3

，AA₁=2，E是BB₁的中点，且CE交BC₁于点P，点Q在线段BC上，CQ=2QB．
（1）证明：CC₁∥平面A₁PQ；
（2）若直线BC⊥平面A₁PQ，求二面角A₁-QE-P的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出△BEP∽△C₁CP，从而得到PQ∥EB∥C₁C，由此能够证明CC₁∥平面A₁PQ．
（2）分别以A为原点，AB，AC，AA₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A₁-QE-P的大小．

解答： （1）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵∠BAC=90°，AB=

3

，AA₁=2，E是BB₁的中点，且CE交BC₁于点P，
∴△BEP∽△C₁CP，∴

CP

PE

=

2

1

=

CQ

BQ

，
∴PQ∥EB∥C₁C，
又∵PQ?平面A₁PQ，C₁C不在平面A₁PQ内，
∴CC₁∥平面A₁PQ．
（2）解：由（1）知PQ∥C₁C，∵C₁C∥A₁A，∴PQ∥A₁A，
∵BC⊥A₁A，∴BC⊥PQ，
∵直线BC⊥平面A₁PQ，∴BC⊥平面A₁PQA，∴BC⊥AQ，
∵∠BAC=90°，CQ=2QB，∴AC=

6

，
分别以A为原点，AB，AC，AA₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
由已知条件得A₁（0，0，2），E（

3

，0，1），B（

3

，0，0），
C（0，

6

，0），Q（

2 3

3

，

6

3

，0），
∴

QE

=(

3

3

，-

6

3

，1)，

A1E

=(

3

，0，-1)，
设平面A₁QE的法向量为

m

=(x，y，z)，
则

m • QE =0 m • A1E =0

，∴

3 3 x- 6 3 y+z=0 3 x-z=0

，
取x=1，得y=2

2

，z=

3

，∴

m

=(1，2

2

，

3

)，
又BC⊥AQ，且A₁A⊥AQ，
∴AQ⊥平面BCC₁B₁，∴平面BCC₁B₁的法向量为

AQ

=（

2 3

3

，

6

3

，0），
∴二面角A₁-QE-P的余弦值为

AQ • m

| AQ |•| m |

=

2

2

，
∴二面角A₁-QE-P的大小为45°．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．