Question

下列命题中真命题为

 

．（只填正确命题的序号）
①在刻画回归模型的拟合效果时，相关系数R²的值越大，说明拟合的效果越好；
②若函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x，则h′（

π

12

）=0；
③若f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+1

（n∈N^*），则f（k+1）=f（k）+

1

3k+2

-

2

3k+3

+

1

3k+4

④设随机变量X 的分布列如表，其中a，b，c成等差数列，若EX=

1

3

，则DX=

5

9

．

X	-1	0	1
P	a	b	c

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：导数的概念及应用,点列、递归数列与数学归纳法,概率与统计

分析：①用相关指数R²来刻画回归效果，R²越大，说明模型的拟合效果越好，即可判断；
②先化简得到h（x）=cos2x，再求导数，注意最后要乘2，再求h′（

π

12

）；
③写出f（k+1）和f（k），作差注意保留哪些，去掉哪些，再化简即可；
④由概率的性质、等差数列的性质和期望公式，列出方程，解出a，b，c，再求方差公式借口得到．

解答： 解：①用相关指数R²来刻画回归效果，R²越大，说明模型的拟合效果越好，故①对；
②函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x=（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）=cos2x，h′（x）=-2sin2x，
h′（

π

12

）=-2sin

π

6

=-1，故②错；
③由于f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+1

（n∈N^*），则f（k+1）=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

，而f（k）=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

，
故f（k+1）-f（k）=-

1

k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

=

1

3k+2

-

2

3k+3

+

1

3k+4

，故③对；
④由于a+b+c=1，-a+c=

1

3

，a+c=2b，解得a=

1

6，

，b=

1

3

，c=

1

2

，则DX=（-1-

1

3

）²×

1

6

+（0-

1

3

）²×

1

3

+（1-

1

3

）²×

1

2

=

5

9

，故④对．
故答案为：①③④

点评：本题考查运用相关指数的大小来刻画模型的拟合效果、三角函数的导数公式及运用、随机变量的期望和方差的求法，及数列中相邻两项的差值，是一道基础题．