Question

已知函数f（x）=

(-1)nsin πx 2 +2n，x∈[2n，2n+1) (-1)n+1sin πx 2 +2n+2，x∈[2n+1，2n+2)

（n∈N），若数列{a_m}满足a_m=f（

m

2

）（m∈N⁺），且{a_n}的前m项和为S_m，则S₂₀₁₄-S₂₀₀₆=

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：由数列的求和和分段函数，得到S₂₀₁₄-S₂₀₀₆=a₂₀₀₇+a₂₀₀₈+…+a₂₀₁₃+a₂₀₁₄=f（

2007

2

）+f（1004）+…+f（

2013

2

）+f（1007），再运用诱导公式求出三角函数值，从而得到答案．

解答： 解：∵S₂₀₁₄=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄，S₂₀₀₆=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₀₆，
∴S₂₀₁₄-S₂₀₀₆=a₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀+a₂₀₁₁+a₂₀₁₂+a₂₀₁₃+a₂₀₁₄
=f（

2007

2

）+f（1004）+f（

2009

2

）+f（1005）+f（

2011

2

）+f（1006）+f（

2013

2

）+f（1007）
=（sin（

π

2

•

2007

2

）+2×501+2）+（sin（

π

2

•1004）+2×501+2）+（sin（

π

2

•

2009

2

）+2×501+2）
+（-sin

1005π

2

+2×502+2）+（-sin

2011π

4

+2×502+2）+（-sin

1006π

2

+2×503）
+（-sin

2013π

4

+2×503）+（sin

1007π

2

+2×503+2）
=（-

2

2

+1004）+（0+1004）+（

2

2

+1004）+（-1+1006）+（-

2

2

+1006）+（0+1006）+（

2

2

+1006）+（-1+1008）=8042．
故答案为：8042．

点评：本题考查分段函数及应用，考查数列的求和，三角函数的求值，考查基本的运算能力，属于中档题．