Question

若不等式lg

1+2x+(1-a)3x

3

≥（x-1）lg3对任意x∈（-∞，1）恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，0]
• B、[1，+∞）
• C、[0，+∞）
• D、（-∞，1]

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,转化思想,不等式的解法及应用

分析：不等式lg

1+2x+(1-a)3x

3

≥（x-1）lg3可整理为a≤

1+2x

3x

=(

1

3

)x+(

2

3

)x，然后转化为求函数y=(

1

3

)x+(

2

3

)x在（-∞，1）上的最小值即可，利用单调性可求最值．

解答： 解：不等式lg

1+2x+(1-a)3x

3

≥（x-1）lg3，
即不等式lg

1+2x+(1-a)3x

3

≥lg3^x-1，
∴

1+2x+(1-a)•3x

3

≥3x-1，整理可得a≤

1+2x

3x

=(

1

3

)x+(

2

3

)x，
∵y=(

1

3

)x+(

2

3

)x在（-∞，1）上单调递减，
∴x∈（-∞，1）y=(

1

3

)x+(

2

3

)x＞

1

3

+

2

3

=1，
∴要使圆不等式恒成立，只需a≤1，即a的取值范围是（-∞，1]．
故选D．

点评：本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转为思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．