Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设AP=1，AD=

3

，三棱锥P-ABD的体积V=

3

4

，求A到平面PBC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；
（Ⅱ）通过AP=1，AD=

3

，三棱锥P-ABD的体积V=

3

4

，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，
∵ABCD是矩形，
∴O为BD的中点
∵E为PD的中点，
∴EO∥PB．
EO?平面AEC，PB?平面AEC
∴PB∥平面AEC；
（Ⅱ）∵AP=1，AD=

3

，三棱锥P-ABD的体积V=

3

4

，
∴V=

1

6

PA•AB•AD=

3

6

AB=

3

4

，
∴AB=

3

2

，
作AH⊥PB交PB于H，
由题意可知BC⊥平面PAB
∴BC⊥AH，
故AH⊥平面PBC．
又AH=

PA•AB

PB

=

3 13

13

A到平面PBC的距离

3 13

13

．

点评：本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．