Question

已知函数f（x）=3^x，等差数列{a_n}的公差为2，f（a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀）=9，则log₃[f（a₁）•f（a₂）•f（a₃）…f（a₁₀）]=

 

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意因为a_n等差数列，且公差为2，所以可以设首项为a₁，利用等差数列的通向公式可以先求出数列的通向公式，再有函数f（x）=3^x，及f（a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀）=9．利用方程的思想可以求出首项a₁的值，在利用对数及指数的运算性质可以求出log₃[f（a₁）•f（a₂）•f（a₃）…f（a₁₀）]的值．

解答： 解：因为等差数列a_n的公差为2，设首项为a₁，利用等差数列的通向公式及函数f（x）=3^x，
又因为f（a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀）=9，∴35a₁+25d=9  即a₁=-

48

5

，
∴log₃[f（a₁）•f（a₂）•f（a₃）…f（a₁₀）]
=（-

48

5

）+（-

48

5

+2）+（-

48

5

+2×2）+（-

48

5

+3×2）+（-

48

5

+4×2）+…+（-

48

5

+9×2）
=10×（-

48

5

）+2×（1+2+3+…+9）
=-6
故答案为：-6

点评：此题考查了等差数列的通向公式，及利用已知条件利用方程的思想求出数列的首项，还考查了对数式与指数式的运算性质及学生的计算能力．