Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}，首项a₁=

1

2

，前n项和为S_n，且S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等差数列和等比数列的通项公式、前n项和的意义即可得出；
（Ⅱ）由（ I）知，na_n=

n

2n

，利用错位相减法求数列的前n项和即可得出．

解答： 解：：（Ⅰ）设正项等比数列{a_n}（n∈N^*）的公比为q（q＞0），又a₁=

1

2

，∴a_n=

1

2

•q^n-1，
∵S₃+a₃、S₅+a₅、S₄+a₄成等差数列，
∴2（S₅+a₅）=（S₃+a₃）+（S₄+a₄），
即2（a₁+a₂+a₃+a₄+2a₅）=（a₁+a₂+2a₃）+（a₁+a₂+a₃+2a₄），
化简得4a₅=a₃，
∴4a1q4=a1q2，化为4q²=1，
解得q=±

1

2

∵q＞0，
∴q=

1

2

，
∴a_n=

1

2n

（ II）由（ I）知，na_n=

n

2n

，
则T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，②…（8分）
①-②得：

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

，
所以T_n=2-

n+2

2n

．…（12分）

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．