Question

等差数列{a_n}中，a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₃+1，a₄+4成等比，分别是等比数列{b_n}的第1项，第2项，第3项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对任意n∈N^*均有

c1

a1

+

c2

a2

+…+

cn

an

=b_n成立，求c₁+c₂+…+c_n（n≥2）．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得（2+2d）²=（1+d）（5+3d），由此求出a_n=n，从而b₁=2，b₂=4，进而求出b_n=2ⁿ．
（2）n=1时，

c1

a1

=b1，解得c₁=2，n≥2时，（

c1

a1

+

c2

a2

+…+

cn

an

）-（

c1

a1

+

c2

a2

+…+

cn-1

an-1

）=b_n-b_n-1=2^n-1，从而得到c_n=n•2^n-1，由此利用错位相减法能求出c₁+c₂+…+c_n（n≥2）．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}中，a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₃+1，a₄+4成等比数列，
∴（2+2d）²=（1+d）（5+3d），
解得d=-1（舍）或d=1，
∴a_n=n，
又b₁=2，b₂=4，∴b_n=2ⁿ．
（2）n=1时，

c1

a1

=b1，解得c₁=2，
n≥2时，（

c1

a1

+

c2

a2

+…+

cn

an

）-（

c1

a1

+

c2

a2

+…+

cn-1

an-1

）=b_n-b_n-1=2^n-1，
∴c_n=n•2^n-1，
令T_n=c₁+c₂+…+c_n=2+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，①
则2T_n=2•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，②
②-①，得：T_n=-2-（2²+2³+…+2^n-1）+n•2ⁿ
=-2-2ⁿ+4+n•2ⁿ=2+（n-1）•2ⁿ．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．