题目内容
已知椭圆C：
+
=1，直线l过点P（-2，1）交椭圆C于A、B两点．
（1）若P是AB中点，求直线l的方程及弦AB的长；
（2）求弦AB中点M的轨迹方程．
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（1）若P是AB中点，求直线l的方程及弦AB的长；
（2）求弦AB中点M的轨迹方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（-2，1）是AB中点，利用点差法能求出直线l的方程，利用弦长公式能求出弦AB的长．
（2）设AB的中点M（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆C：
+
=1，利用点差法能求出弦AB中点M的轨迹方程．
（2）设AB的中点M（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆C：
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
解答：
解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵P（-2，1）是AB中点，
∴x1+x2=-4，y1+y2=2，
把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆C：
+
=1，
得
，
整理，得：-4（x1-x2）+4（y1-y2）=0，
∴k=
=1，
∴直线AB的方程：y-1=x+2，整理，得x-y+3=0．
联立
，得3x2+12x+10=0，
∴x1+x2=-4，x1x2=
，
∴|AB|=
=
．
（2）设AB的中点M（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，
把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆C：
+
=1，
得
，
整理，得：2x（x1-x2）+4y（y1-y2）=0，
∴k=
=-
，
又直线AB过P（-2，1），M（x，y），
∴k=
=-
，
整理，得x2+2y2+2x-2y=0．
当直线AB的斜率k不存在时，满足上式，
∴弦AB中点M的轨迹方程为x2+2y2+2x-2y=0．
∵P（-2，1）是AB中点，
∴x1+x2=-4，y1+y2=2，
把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆C：
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
得
|
整理，得：-4（x1-x2）+4（y1-y2）=0，
∴k=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
∴直线AB的方程：y-1=x+2，整理，得x-y+3=0．
联立
|
∴x1+x2=-4，x1x2=
| 10 |
| 3 |
∴|AB|=
(1+1)[(-4)2-4×
|
| 4 |
| 3 |
| 3 |
（2）设AB的中点M（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，
把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆C：
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
得
|
整理，得：2x（x1-x2）+4y（y1-y2）=0，
∴k=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| x |
| 2y |
又直线AB过P（-2，1），M（x，y），
∴k=
| y-1 |
| x+2 |
| x |
| 2y |
整理，得x2+2y2+2x-2y=0．
当直线AB的斜率k不存在时，满足上式，
∴弦AB中点M的轨迹方程为x2+2y2+2x-2y=0．
点评：本题考查直线方程与弦长的求法，考查弦的中点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．
练习册系列答案
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