题目内容
中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆C的离心率为
，它的一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合，
（1）求椭圆C的方程；
（2）过直线l：x=4上一点M引椭圆C的两条切线，切点分别是A，B，求证：AB过椭圆C的右焦点F；（可用结论：椭圆
+
=1上点P（x0，y0）处切线方程：
+
=1）
（3）在（2）的条件下，是否存在λ，使得λ|AF|•|BF|=|AF|+|BF|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，说明理由．
| 1 |
| 2 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）过直线l：x=4上一点M引椭圆C的两条切线，切点分别是A，B，求证：AB过椭圆C的右焦点F；（可用结论：椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x0x |
| a2 |
| y0y |
| b2 |
（3）在（2）的条件下，是否存在λ，使得λ|AF|•|BF|=|AF|+|BF|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（I）设椭圆方程为
+
=1（a＞b＞0）．抛物线y2=-4x的焦点是（-1，0），从而c=1，
=
，由此能求出椭圆C方程．
（II）设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），切线方程分别为
+
=1，
+
=1，从而直线AB的方程是x+
y=1，由此能证明直线AB恒过右焦点F（1，0）．
（III）将直线AB的方程x=-
y+1，代入椭圆方程，得（
+4）y2-2ty-9=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出存在实数λ=
，使得λ|AF|•|BF|=|AF|+|BF|．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
（II）设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），切线方程分别为
| x1x |
| 4 |
| y1y |
| 3 |
| x2x |
| 4 |
| y2y |
| 3 |
| t |
| 3 |
（III）将直线AB的方程x=-
| t |
| 3 |
| t2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
解答：
（I）解：设椭圆方程为
+
=1（a＞b＞0）．
抛物线y2=-4x的焦点是（-1，0），故c=1，又
=
，
所以a=2，b=
=
，
所以所求的椭圆C方程为
+
=1．…（4分）
（II）证明：设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
直线l上一点M的坐标（4，t）．
则切线方程分别为
+
=1，
+
=1．
又两切线均过点M，
即x1+
y1=1，x2+
y2=1，
即点A，B的坐标都适合方程x+
y=1，而两点之间确定唯一的一条直线，
故直线AB的方程是x+
y=1，
显然对任意实数t，右焦点F（1，0）都适合这个方程，
故直线AB恒过右焦点F（1，0）．…（9分）
（III）解：将直线AB的方程x=-
y+1，代入椭圆方程，
得3（-
y+1）2+4y2-12=0，即（
+4）y2-2ty-9=0，
所以y1+y2=
，y1y2=
，
不妨设y1＞0，y2＜0，|AF|=
=
=
y1，
同理|BF|=-
y2，…（12分）
所以
+
=
•（
-
）
=
•
=-
•
=-
•
=
•
=
，
∴|AF|+|BF|=
|AF|•|BF|．
故存在实数λ=
，使得λ|AF|•|BF|=|AF|+|BF|．…（15分）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
抛物线y2=-4x的焦点是（-1，0），故c=1，又
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
所以a=2，b=
| a2-c2 |
| 3 |
所以所求的椭圆C方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（II）证明：设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
直线l上一点M的坐标（4，t）．
则切线方程分别为
| x1x |
| 4 |
| y1y |
| 3 |
| x2x |
| 4 |
| y2y |
| 3 |
又两切线均过点M，
即x1+
| t |
| 3 |
| t |
| 3 |
即点A，B的坐标都适合方程x+
| t |
| 3 |
故直线AB的方程是x+
| t |
| 3 |
显然对任意实数t，右焦点F（1，0）都适合这个方程，
故直线AB恒过右焦点F（1，0）．…（9分）
（III）解：将直线AB的方程x=-
| t |
| 3 |
得3（-
| t |
| 3 |
| t2 |
| 3 |
所以y1+y2=
| 6t |
| t2+12 |
| -27 |
| t2+12 |
不妨设y1＞0，y2＜0，|AF|=
| (x1-1)2+y12 |
(
|
| ||
| 3 |
同理|BF|=-
| ||
| 3 |
所以
| 1 |
| |AF| |
| 1 |
| |BF| |
| 3 | ||
|
| 1 |
| y1 |
| 1 |
| y2 |
=
| 3 | ||
|
| y2-y1 |
| y1y2 |
=-
| 3 | ||
|
| ||
| y1y2 |
=-
| 3 | ||
|
| ||||||
|
=
| 1 | ||
|
| ||
| 9 |
| 4 |
| 3 |
∴|AF|+|BF|=
| 4 |
| 3 |
故存在实数λ=
| 4 |
| 3 |
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线过椭圆焦点的证明，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．
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