Question

设f₀（x）=x，f_n（x）=

∫

x 0

f_n-1（t）dt，n=1，2，3，…，则f₂₀₁₂（x）=

 

．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的综合应用

分析：利用定积分的运算法则找出其规律即可得出．

解答： 解：由题意，f1(x)=

∫

x 0

f0(t)dt=

∫

x 0

tdt=

1

2

t2

|

x 0

=

1

2

x2；
f₂（x）=

∫

x 0

f₁（t）dt=

∫

x 0

1

2

t2dt=

1

2

×

1

3

t3

|

x 0

=

1

2

×

1

3

x3；
f₃（x）=

∫

x 0

f2(t)dt=

∫

x 0

1

2

×

1

3

t3dt=

1

2

×

1

3

×

1

4

x4；
…
f₂₀₁₂（x）=

x2013

2013!

；
故答案为：

x2013

2013!

点评：本题考查了定积分的计算，根据是利用定积分的运算法则得出其规律进行归纳总结．