Question

已知函数的f（x）=

x2

x+m

图象经过点（4，8）．
（1）求该函数的解析式；
（2）数列{a_n}中，若a₁=1，S_n为数列{a_n}的前n项和，且满足a_n=f（S_n）（n≥2），证明数列{

1

Sn

}成等差数列，并求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由函数f（x）=

x2

x+m

的图象经过点（4，8）得m=-2，由此能求出函数的解析式．
（2）由已知条件推导出数列{

1

Sn

}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列，从而S_n=

2

n+1

，由此能求出a_n．

解答： （1）解：由函数f（x）=

x2

x+m

的图象经过点（4，8）得：m=-2，
函数的解析式为f（x）=

x2

x-2

．…..（2分）
（2）证明：由已知，当n≥2时，a_n=f（S_n），即a_n=

Sn2

Sn-2

．
又S_n=a₁+a₂+…+a_n，
所以S_n-S_n-1=

Sn2

Sn-2

，即2S_n+S_n•S_n-1=2S_n-1，…..（5分）
所以

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，…..（7分）
又S₁=a₁=1．
所以数列{

1

Sn

}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列．
由上可知

1

Sn

=1+

1

2

（n-1）=

n+1

2

，
即S_n=

2

n+1

．…..（10分）
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

2

n+1

-

2

n

=-

2

n((n+1)

．
因此a_n=

1，n=1 - 2 n(n+1) ，n≥2

 …..（12分）

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查数列是等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题．