Question

若正方形的四个顶点均在y=-4x³+3x的图象上，则这样的正方形有

 

个．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：显然该函数是奇函数，由图象分析可知，正方形的中心应过原点，且两对角线也过原点且分别关于原点对称、相互垂直，据此可设两对角线所在直线方程为y=kx，及y=-

1

k

x，分别与函数y=-4x³+3x联立，求出交点坐标，利用两对角线长度相等列出关于k的方程，判断根的个数即可．

解答： 解：∵正方形的四个顶点均在y=-4x³+3x的图象上，且该函数是奇函数，
所以正方形的中心过原点，由此设两对角线所在直线方程为：y=kx，及y=-

1

k

x，
由

y=kx y=-4x3+3x

得4x²=3-k，
∴x=

3-k

2

或-

3-k

2

，且k＜3①，
将两根代入y=kx，得正方形一条对角线两交点为A（

3-k

2

，

k 3-k

2

），C（-

3-k

2

，-

k 3-k

2

）；
同理，将y=-

1

k

x代入y=-4x³+3x得4x²=3+

1

k

，k＞0或k＜-

1

3

②，
x=

1

2

3+ 1 k

或-

1

2

3+ 1 k

，分别代入y=-

1

k

x得B（

1

2

3+ 1 k

，-

1

2k

3+ 1 k

），D（-

1

2

3+ 1 k

，

1

2k

3+ 1 k

），
根据|OA|=|OB|得

3-k

4

+

k2(3-k)

4

=

1

4

(3+

1

k

)+

1

4k2

(3+

1

k

)，
整理得（

k2+1

k

）

k2-k-1

k

•

k2-2k-1

k

=0，
∴k²-k-1=0，或k²-2k-1=0
易知，这两个方程的两根之积都为-1，且根都满足条件①②，
∴符合题意的正方形有2个．
故答案为：2．

点评：本题充分利用该函数的奇偶性以及正方形的对称性，分析出正方形的中心是原点，且对角线互相垂直相等，通过列方程求k是解本题的关键，而由已知得到k应满足的范围，则是问题的易错点．