Question

已知函数f（x）满足f（

1-x

1+x

）=

1-x2

1+x2

（1）求f（x）的解析式及定义域；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）用换元法，设

1-x

1+x

=t，求出x，得出f（t），即为f（x）的解析式；
（2）分x＞0，x=0，x＜0时，求出

2x

1+x2

的取值范围，即是函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）根据题意，设

1-x

1+x

=t，
则x=

1-t

1+t

（t≠-1）；
∴f（t）=

1-( 1-t 1+t )2

1+( 1-t 1+t )2

=

2t

1+t2

（t≠-1）；
即f（x）=

2x

1+x2

，定义域是{x|x≠-1}；
（2）当x＞0时，0＜2x≤1+x²，∴0＜

2x

1+x2

≤1；
当x=0时，

2x

1+x2

=0；
当x＜0时，0＜-2x≤1+x²，∴0＜

-2x

1+x2

≤1，
∴-1≤

2x

1+x2

≤0；
又∵x≠-1，∴

2x

1+x2

≠-1；
综上，-1＜

2x

1+x2

≤1；
即f（x）∈（-1，1]．

点评：本题考查了函数的定义域和值域的问题，解题时应用换元法求出函数的解析式，根据解析式求出定义域和值域，是基础题．