Question

已知函数f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]，设命题p：“f（x）的定义域为R”；命题q：“f（x）的值域为R”．
（Ⅰ）分别求命题p、q为真命题时实数a的取值范围；
（Ⅱ）￢p是q的什么条件？请说明理由．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,命题的真假判断与应用

专题：推理和证明

分析：首先将命题P：“f（x）的定义域为R”化简，在将命题q：“f（x）的值域为R”化简．然后根据命题之间的关系判断即可．

解答： 解：（Ⅰ）命题p为真?f（x）的定义域是R?（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0恒成立，
?a=-1或

a2-1＞0 △=(a+1)2-4(a2-1)＜0.

?a=-1或

a＜-1或a＞1 a＜-1或a＞ 5 3

解得a≤-1或a＞

5

3

．∴实数a的取值范围为（-∞，-1]∪(

5

3

∪（

5

3

+∞）．
命题q为真?f（x）的值域是R?于u=（a²-1）x²+（a+1）x+1的值域?（0，+∞），
?a=-1或

a2-1＞0 △=(a+1)2-4(a2-1)≥0.

?a=-1或

a＜-1或a＞1 -1≤a≤ 5 3

解得1≤a≤

5

3

．∴实数a的取值范围为[1，

5

3

]
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，?p?a∈(-1 ， 

5

3

]；q?a∈[1 ， 

5

3

]．
而（-1，

5

3

]?[-1，

5

3

]，∴?p是q的充分而不必要的条件

点评：本题考查命题之间的关系，正确地求P与Q是解题关键．