Question

若函数f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的图象与直线y=a有六个交点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：令t=x²-1，则t≥-1，此时y=f（x）=|t|²-2|t|-1，若y=|t|²-2|t|-1有根为-1，则函数f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的图象与直线y=a会有一个交点，若y=|t|²-2|t|-1有根大于-1，则函数f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的图象与直线y=a会有两个交点，进而结合图象，数形结合，分类讨论，可得答案．

解答： 解：令t=x²-1，则t≥-1，
此时y=f（x）=|t|²-2|t|-1，
其图象如下图所示：

由图可知：
当a=-2时，若y=|t|²-2|t|-1=a，则t=-1，或t=1，此时f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1=a有三个根，即函数f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的图象与直线y=a有3个交点，
当-2＜a＜-1时，若y=|t|²-2|t|-1=a，有三个大于-1的t值，此时f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1=a有6个根，即函数f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的图象与直线y=a有6个交点，
当a=-1时，若y=|t|²-2|t|-1=a，则有两个大于-1的t值，此时f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1=a有4个根，即函数f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的图象与直线y=a有4个交点，
当a＞-1时，若y=|t|²-2|t|-1=a，则有一个大于-1的t值，此时f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1=a有2个根，即函数f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的图象与直线y=a有2个交点，
综上所述，函数f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的图象与直线y=a有六个交点，a的取值范围为（-2，-1）

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数图象的对折变换，二次函数的图象和性质，数形结合思想，分类讨论思想，是函数图象和性质及重要解题思想的综合应用，难度较大．