Question

如图，三棱柱ABC-A₁BC₁的底面是边长2的正三角形，侧面与底面
垂直，且长为

3

，D是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：BD⊥平面AA₁C₁C；
（3）求点A到平面A₁BD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）连结AB₁交A₁B于点M，连结DM，证出DM为△AB₁C的中位线，得DM∥B₁C，利用线面平行的判定定理，即可证出B₁C∥平面A₁BD；
（2）利用等边三角形“三线合一”证出BD⊥AC，根据AA₁⊥平面ABC证出BD⊥AA₁，从而证出BD⊥平面ACC₁A₁；
（3）利用等体积法，求点A到平面A₁BD的距离．

解答： （1）证明：连结AB₁，交A₁B于点M，连结DM
∵四边形AA₁B₁B为平行四边形，
∴M为AB₁的中点，
∵D是AC的中点，可得DM为△AB₁C的中位线，
∴DM∥B₁C，
∵DM?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD；
（2）证明：∵△ABC中，AB=BC，AD=DC，∴BD⊥AC，
∵AA₁⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴BD⊥AA₁，
∵AC、AA₁是平面ACC₁A₁内的相交直线，
∴BD⊥平面ACC₁A₁；
（3）解：在△A₁BD中，BD⊥A₁D，BD=

3

，A₁D=

2

，
∴S△A1BD=

1

2

×

3

×

2

=

6

2

，
在△A₁BA中，AB⊥A₁A，A₁A=

3

，AB=2，
∴S△ABA1=

1

2

×2×

3

=

3

，
设点A到平面A₁BD的距离是h，则
∵D到平面A₁BA的距离为

3

2

，
∴

1

3

×

3

×

3

2

=

1

3

×

6

2

h，
∴h=

6

2

，即点A到平面A₁BD的距离是

6

2

．

点评：本题在直三棱柱中证明线面平行和线面垂直，考查点A到平面A₁BD的距离，考查了直三棱柱的性质和空间平行、垂直位置关系的判定与证明等知识，属于中档题．