Question

已知a，b为两个正数，且a＞b，设a1=

a+b

2

，b1=

ab

，当n≥2，n∈N^*时，an=

an-1+bn-1

2

，bn=

an-1bn-1

．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是递减数列，数列{b_n}是递增数列；
（Ⅱ）求证：an+1-bn+1＜

1

2

(an-bn)；
（Ⅲ）设数列{a_n}，{b_n}前n项和分别为S_nT_n，求证：S_n＜T_n+2（a+b）．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的函数特性,数列的求和

专题：证明题

分析：（I）易知对任意n∈N^*，a_n＞0，b_n＞0．根据基本不等式可知对任意n∈N^*，a_n＞b_n，an+1-an=

an+bn

2

-an判定符号可得数列{a_n}的单调性，bn+1-bn=

anbn

-bn=

bn

(

an

-

bn

)＞0，从而得到数列{b_n}的单调性； 
（II）根据题意可知an+1-bn+1=

an+bn

2

-

anbn

，然后利用放缩法即可证得结论；
（III）根据（II）可得an-bn＜(a-b)•(

1

2

)n-1，从而

Sn-Tn＜(a+b)(1+ 1 2 +…+( 1 2 )n-1)

，最后利用放缩法即可证得结论．

解答： （Ⅰ）证明：易知对任意n∈N^*，a_n＞0，b_n＞0．
由a≠b，可知

a+b

2

＞

ab

，即a₁＞b₁．
同理，

a1+b1

2

＞

a1b1

，即a₂＞b₂．
可知对任意n∈N^*，a_n＞b_n．an+1-an=

an+bn

2

-an=

bn-an

2

＜0，
所以数列{a_n}是递减数列．bn+1-bn=

anbn

-bn=

bn

(

an

-

bn

)＞0，
所以数列{b_n}是递增数列．              …（5分）
（Ⅱ）证明：an+1-bn+1=

an+bn

2

-

anbn

＜

an+bn

2

-

bnbn

＜

1

2

(an-bn)．…（10分）
（Ⅲ）解：由an+1-bn+1＜

1

2

(an-bn)，可得an-bn＜(a-b)•(

1

2

)n-1．

Sn-Tn＜(a+b)(1+ 1 2 +…+( 1 2 )n-1). ＜(a+b)(2-( 1 2 )n)＜2(a-b)

∴S_n＜T_n+2（a+b）．…（14分）

点评：本题主要考查了数列的单调性的判定，以及利用放缩法证明不等式，同时考查了计算能力，属于中档题．