Question

已知焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）的椭圆经过点（1，

2

2

），直线l过点F₂与椭圆交于A、B两点，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求

OA

•

OB

的范围；
（Ⅲ）若直线AB的斜率存在且不为零，向量

OA

+

OB

与向量

a

=（-2

2

，1）平行，求

OA

•

OB

的值及△AOB的外接圆的方程．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合,向量在几何中的应用,椭圆的标准方程

专题：计算题,转化思想

分析：（1）直接把椭圆经过点(1，

2

2

)的坐标代入方程，再结合焦点坐标即可求椭圆的方程；
（2）把直线方程和椭圆方程联立，求出关于A，B两点坐标和直线斜率之间的关系，再代入

OA

•

OB

的表达式即可求出求

OA

•

OB

的范围；
（3）先把直线方程和椭圆方程联立，求出关于A，B两点坐标和直线斜率之间的关系，求出

OA

+

OB

，利用

OA

+

OB

与向量

a

=(-2

2

，1)共线求出直线斜率进而求出求

OA

•

OB

的值及△AOB的外接圆方程．

解答： 解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
由题得

1 a2 + 1 2 b2 a2-b2=1

=1⇒a²=2，b²=1，
所以椭圆的方程是

x2

2

+y2=1，
（2）当K存在时，设直线方程为y=K（x-1）．
联立

y=K(x-1) x2 2 +y2=1

，化简为（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）x1+ x2=

4k2

2k2+1

，x1•x2=

2k2-2

2k2+1

．

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-1) (x2-1)
∴

OA

• 

OB

=

k2-2

2k2+1

（#）
令

k2-2

2k2+1

=m则k2=

m+2

1-2m

≥0
∴-2≤m＜

1

2

，∴-2≤

OA

•

OB

＜

1

2

当K不存在时，A(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)，则

OA

•

OB

=

1

2

综上，-2≤

OA

•

OB

≤

1

2

．
（3）

OA

•

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂）
∴-2

2

(y1+y2)=x1+x2，
∴-2

2

(k(x1-1)+k(x2-1))=x1+x2
由韦达定理知k=0或k=

2

代入（#）得

OA

•

OB

=-2或0
当

OA

•

OB

=-2时，A，O，B共线，不存在外接圆
当

OA

•

OB

=0时，

OA

⊥

OB

，外接圆直径为AB，圆心为(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)即(

4

5

，-

2

5

)
r2=|OC|2=

18

25

，
∴△AOB的外接圆方程为(x-

4

5

)2+(y+

2

5

)2=

18

25

．

点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及向量共线问题．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．