Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120°．
①求证：平面ADE⊥平面ABE；
②求点C到平面ADE的距离．

Answer 1

考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系,点、线、面间的距离计算

专题：计算题,证明题

分析：解法1①取BE的中点O，连OC．BC=CE，OC⊥BE．又AB⊥平面BCE，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz．写出要用的点的坐标，表示出两个平面的法向量，根据两个法向量垂直得到面面垂直．
②根据写出的点的坐标，得到直线对应的向量的坐标，根据两个向量之间所成的角得到线面角．
解法2①做出辅助线，取BE的中点O，AE的中点F，连OC，OF，CD，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，根据线面垂直得到面面垂直．
②根据CD 

∥ .

.

1

2

BA，延长AD，BC交于T，得到C为BT的中点．得到点C到平面ADE的距离等于点B到平面ADE的距离的

1

2

，做出结果．

解答： 解法1：①取BE的中点O，连OC．
∵BC=CE，∴OC⊥BE．又AB⊥平面BCE．
以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz如图，
则由已知条件有：C（1，0，0），B(0，

3

，0)，E(0，-

3

，0)D（1，0，1），A(0，

3

，2)（4分）
设平面ADE的法向量为n=（a，b，c），
则由n•

EA

=(a，b，c)•(0，2

3

，2)=2

3

b+2c=0．
及n•

DA

=(a，b，c)•(-1，

3

，1)=-a+

3

b+c=0．
可取

n

=(0，1，-

3

)（6分）
又AB⊥平面BCE．
∴AB⊥OC．OC⊥平面ABE
∴平面ABE的法向量可取为

m

=（1，0，0）．
∵

m

•

n

=(0，1，-

3

)•（1，0，0）=0，
∴

n⊥

m

∴平面ADE⊥平面ABE．（8分）
②点C到平面ADE的距离为|

CA • n

| n |

|=|

(-1， 3， 2)•(0，1，- 3 )

2

|=

3

2

（12分）
解法2：①取BE的中点O，AE的中点F，连OC，OF，CD．则OF

∥ .

.

1

2

BA
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=2CD
∴CD 

∥ .

.

1

2

BA，OF

∥ .

.

CD
∴OC∥FD  （3分）
∵BC=CE，
∴OC⊥BE．又AB⊥平面BCE．
∴OC⊥平面ABE．
∴FD⊥平面ABE．
从而平面ADE⊥平面ABE．（6分）
②∵CD 

∥ .

.

1

2

BA，延长AD，BC交于T
则C为BT的中点．
点C到平面ADE的距离等于点B到平面ADE的距离的

1

2

．（8分）
过B作BH⊥AE，垂足为H．
∵平面ADE．⊥平面ABE．
∴BH⊥平面BDE．
由已知有AB⊥BE．BE=2

3

，AB=2，
∴BH=

3

，
从而点C到平面ADE的距离为

3

2

（12分）

点评：本题考查线面垂直和点到面的距离，本题求距离也可以这样解：OC∥FD，点C到平面ADE的距离等于点O到平面ADE的距离为

3

2

．或取A B的中点M．易证CM∥DA．点C到平面ADE的距离等于点M到平面ADE的距离为

3

2

．