Question

已知函数f（x）=xⁿ-alnx（a是实数，n是正整数）
（1）已知a=n=2，求y=f（x）的极值；
（2）已知n=1，是否存在实数a，使得函数y=f（x）在x∈[e，e²]的最大值为e，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．（e为自然对数的底数）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导并令导数为零，并说明是极大值还是极小值；（2）求导，由导数的特征可知最大值在端点取得，讨论求a的值．

解答： 解：（1）f（x）=x²-2lnx的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=2x-

2

x

=2

x2-1

x

，
令f′（x）=0，解得，x=1．
则在x=1附近，左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，
则y=f（x）在x=1处取的极小值：f（1）=1．
（2）f（x）=x-alnx，f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

，
则函数y=f（x）在[e，e²]的最大值只可能在端点上取得，
若f（e）=e-a=e，则a=0，
此时f（x）=x，最大值应为e²，故不成立；
若f（e²）=e²-2a=e，则a=

e2-e

2

，
此时，f（x）=x-

e2-e

2

lnx在[e，e²]上单调递增，成立．
综上所述，a=

e2-e

2

．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．