Question

已知f（x）是R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=x²+x-1．
（1）求f（0）的值；
（2）求x∈（-∞，0）时，f（x）的解析式；
（3）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的单调性及单调区间

专题：函数的性质及应用

分析：（1）奇函数的性质可得f（-0）=-f（0），可求得f（0）；
（2）设x＜0则-x＞0，利用已知表达式可求得f（-x），根据奇函数性质可得f（x）=-f（-x），由此可求得f（x）；
（3）根据二次函数的性质和对应的x的范围，可分段求出单调增区间；

解答： 解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，
所以f（-0）=-f（0），得f（0）=0；
（2）设x＜0，则-x＞0，
因为当x∈（0，+∞）时，f（x）=x²+x-1，
所以f（-x）=（-x）²+（-x）-1=x²-x-1
因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（-x）=-f（x）=-x²+x+1，
即f（x）=-x²+x+1，x＜0；
（3）当x∈（-∞，0）时，f（x）=-x²+x+1的对称轴是x=

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，在（-∞，

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）上单调递增，
当x∈（0，+∞）时，f（x）=x²+x-1的对称轴是x=-

1

2

，在（0，+∞）上单调递增，
故f（x）的单调递增区间是（-∞，

1

2

），（0，+∞）．

点评：本题考查利用奇偶性求分段函数的解析式，考查二次函数的单调性，考查分类讨论思想．