Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）．
（1）若f（-1）=f（2），且不等式x≤f（x）≤2|x-1|+1对x∈[0，2]恒成立，求函数f（x）的解析式；
（2）若c＜0，且函数f（x）在[-1，1]上有两个零点，求2b+c的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）因为f（-1）=f（2），不等式x≤f（x）≤2|x-1|+1对x∈[0，2]恒成立，函数的对称轴为x=

1

2

，且f（1）=1，进而可得b，c的值，及函数f（x）的解析式；
（2）若c＜0，且函数f（x）在[-1，1]上有两个零点，则

f(-1)≥0 f(1)≥0 c＜0

，利用线性规划可得2b+c的取值范围．

解答： 解：（1）因为f（x）=x²+bx+c，f（-1）=f（2），
所以1-b+c=4+2b+c，
解得：b=-1，…（3分）
因为当x∈[0，2]，
都有x≤f（x）≤2|x-1|+1，
令x=1，则1≤f（1）≤1，
所以有f（1）=1，…（6分）
即c=1，
所以f（x）=x²-x+1；          …（7分）
（2）因为f（x）在[-1，1]上有两个零点，且c＜0，
所以有

f(-1)≥0 f(1)≥0 c＜0

，
即

-b+c+1≥0 b+c+1≥0 c＜0

其对应的平面区域如图所示：
 …（11分）
令Z=2b+c，
则当b=-1，c=0时，Z取最小值-2，
当b=1，c=0时，Z取最大值2，
由于可行域不包括（-1，0）和（1，0）点
故-2＜2b+c＜2（12分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，线性规划，难度中档．